Očekávaná hodnota a edge: matematické jádro každé strategie

Mnoho investorů se při hodnocení strategie dívá nejdřív na win rate — tedy kolik procent obchodů skončilo v zisku. Na první pohled to dává smysl: 70 % úspěšnost zní lépe než 45 %. Jenže v praxi může být strategie s win rate 70 % ztrátová a strategie s win rate 40 % zisková.

Proč? Protože nezáleží jen na tom, jak často strategie vyhrává, ale také na tom, kolik vydělá, když vyhraje, a kolik ztratí, když prohraje. Právě to zachycuje pojem očekávaná hodnota neboli expectancy. Pokud je expectancy dlouhodobě kladná a statisticky robustní, říká se, že strategie má edge — výhodu vůči náhodnému rozhodování.

Tento článek je pokročilejší lekce: ukáže vzorec, příklady s asymetrií risk/reward, měření na vlastních datech i statistickou poctivost — včetně velikosti vzorku, t-statistiky a rizika overfittingu.

---

1. Win rate není strategie

Win rate (WR) je podíl ziskových obchodů:

\[
WR = \frac{\text{počet ziskových obchodů}}{\text{celkový počet obchodů}}
\]

Pokud strategie provedla 100 obchodů a 55 skončilo v zisku, win rate je 55 %.

To je užitečná informace, ale sama o sobě nestačí. Představme si dvě strategie:

Strategie	Win rate	Průměrný zisk	Průměrná ztráta	Intuitivní dojem
A	70 %	+1 %	−4 %	„Často vyhrává“
B	40 %	+5 %	−2 %	„Často se mýlí“

Strategie A má vysokou úspěšnost, ale když ztratí, ztrácí hodně. Strategie B má nízkou úspěšnost, ale zisky jsou větší než ztráty. Která je lepší? Bez výpočtu expectancy to není jasné.

---

2. Vzorec očekávané hodnoty

Základní vzorec je:

\[
\text{Expectancy} = WR \times \text{průměrný zisk} - LR \times \text{průměrná ztráta}
\]

Kde:

• WR = win rate, tedy pravděpodobnost ziskového obchodu,
• LR = loss rate, tedy pravděpodobnost ztrátového obchodu,
• LR = 1 − WR,
• průměrný zisk = průměrný výnos z vítězných obchodů,
• průměrná ztráta = průměrná velikost ztráty u ztrátových obchodů, obvykle počítaná jako kladné číslo.

Expectancy říká, kolik strategie historicky vydělala nebo ztratila na jeden obchod v průměru.

Výpočet strategií A a B

Strategie A:

\[
0{,}70 \times 1\% - 0{,}30 \times 4\% = 0{,}7\% - 1{,}2\% = -0{,}5\%
\]

Strategie A má expectancy −0,5 % na obchod. Přestože má 70% win rate, historicky ztrácí.

Strategie B:

\[
0{,}40 \times 5\% - 0{,}60 \times 2\% = 2{,}0\% - 1{,}2\% = +0{,}8\%
\]

Strategie B má expectancy +0,8 % na obchod. Přestože většina obchodů končí ztrátou, ziskové obchody jsou dostatečně velké, aby ztráty převážily.

To je základní lekce: win rate je psychologicky příjemná metrika, ale expectancy je ekonomická metrika.

---

3. Risk/reward asymetrie: proč může fungovat WR pod 50 %

Strategie s win rate pod 50 % může být zisková, pokud má příznivý poměr risk/reward (R/R). Ten porovnává průměrnou ztrátu s průměrným ziskem.

Například trend-following strategie často fungují tak, že mnoho malých ztrát přijme jako „náklady na hledání trendu“, ale občas zachytí velký pohyb. Taková strategie může mít WR 35–45 %, ale pozitivní expectancy.

Příklad na ilustrativních datech:

Strategie sleduje akcie s vysokým momentem, například NVDA nebo MSFT, ale obchoduje pouze tehdy, když splní definovaná kvantitativní pravidla. Čísla níže jsou pouze modelový příklad, ne doporučení.

Metrika	Hodnota
Počet obchodů	120
Win rate	42 %
Loss rate	58 %
Průměrný zisk	+7,0 %
Průměrná ztráta	−3,0 %
Expectancy	?

Výpočet:

\[
0{,}42 \times 7\% - 0{,}58 \times 3\% = 2{,}94\% - 1{,}74\% = +1{,}20\%
\]

Strategie má historickou expectancy +1,2 % na obchod. Při 120 obchodech to vypadá zajímavěji než při 12 obchodech, ale stále nejde o záruku budoucích výsledků.

Důležité je, že nízký WR vyžaduje psychologickou odolnost. Strategie může prohrát šestkrát za sebou a přesto být matematicky pozitivní. Pokud investor opustí systém po běžné sérii ztrát, reálný výsledek se může výrazně lišit od backtestu.

---

4. Konkrétní příklad: 100 000 Kč portfolio a expectancy

Představme si modelové portfolio 100 000 Kč. Strategie riskuje na jeden obchod 1 % kapitálu, tedy 1 000 Kč. Používá pravidlo:

• typická ztráta: −1R = −1 000 Kč,
• typický zisk: +2,5R = +2 500 Kč,
• win rate: 38 %,
• loss rate: 62 %.

Expectancy v jednotkách R:

\[
0{,}38 \times 2{,}5R - 0{,}62 \times 1R = 0{,}95R - 0{,}62R = +0{,}33R
\]

V korunách:

\[
0{,}33 \times 1\,000 = 330 \text{ Kč na obchod}
\]

Modelově tedy strategie vydělává 330 Kč na obchod před náklady, skluzem a daněmi. Pokud by historicky proběhlo 100 podobných obchodů, hrubý očekávaný výsledek by byl 33 000 Kč. Ve skutečnosti však výsledky nepřicházejí rovnoměrně. Může nastat série ztrát, několik mimořádně velkých zisků, vyšší transakční náklady nebo změna režimu trhu.

Proto je expectancy jen první vrstva. Druhá vrstva je otázka: je naměřený edge statisticky důvěryhodný?

---

5. Jak měřit edge na vlastních datech

Měření edge začíná tím, že každý obchod má jasně definovaný důvod vstupu, výstupu a velikost pozice. Bez konzistentních pravidel nelze rozlišit strategii od náhodné směsi rozhodnutí.

Praktický rámec:

1. Definice strategie

Například: „Akcie z indexu S&P 500, které jsou nad 200denním průměrem, mají pozitivní 6měsíční momentum a vstup nastává po krátkodobém pullbacku.“ Tickers jako AAPL, MSFT nebo KO mohou být součástí testovaného univerza, ale samy o sobě strategii nedefinují.

1. Záznam každého signálu

U každého obchodu se eviduje datum, ticker, vstupní cena, výstupní cena, velikost pozice, náklady a důvod výstupu.

1. Výpočet distribuce výsledků

Nejde jen o průměr. Důležité jsou také extrémy, medián, volatilita výsledků, nejhorší série ztrát a maximální drawdown.

1. Oddělení in-sample a out-of-sample období

Strategie vytvořená na datech 2015–2021 by měla být následně pozorována na jiném období, například 2022–2024. Pokud funguje jen v období, na kterém byla navržena, může jít o overfitting.

1. Započtení nákladů

Spread, komise, skluz a daňové dopady mohou z pozitivní expectancy udělat nulovou nebo negativní. U kratších strategií je tato část zvlášť důležitá.

Edge tedy není pocit „tohle funguje“. Edge je měřitelný rozdíl mezi výsledkem strategie a realistickou alternativou po nákladech.

---

6. Minimální vzorek: kolik obchodů stačí?

Častá chyba je vyvodit závěr z příliš malého vzorku. Deset obchodů s krásným výsledkem může být náhoda. U strategií s nízkou frekvencí je to nepříjemné, protože sběr dat trvá dlouho.

Hrubá orientace:

Počet obchodů	Interpretace
< 30	Spíše anekdota než statistika
30–100	První signál, vysoká nejistota
100–300	Užitečnější vzorek, stále závisí na rozptylu
300+	Lepší základ, pokud pokrývá různé tržní režimy

Nejde však jen o počet obchodů. Důležité je, zda vzorek zahrnuje:

• býčí i medvědí trh,
• období vysokých a nízkých sazeb,
• různé sektory,
• různé úrovně volatility,
• dostatečný počet nezávislých signálů.

Pokud strategie testuje 500 obchodů, ale všechny pocházejí z technologických akcií v jednom silném růstovém období, nezávislost je menší, než číslo naznačuje.

---

7. T-statistika: je edge větší než šum?

T-statistika pomáhá odhadnout, zda je průměrný výnos strategie dostatečně velký vzhledem k jeho variabilitě.

Zjednodušeně:

\[
t = \frac{\text{průměrný výnos na obchod}}{\text{standardní chyba průměru}}
\]

Standardní chyba klesá s počtem pozorování:

\[
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]

Kde:

• \(\sigma\) je směrodatná odchylka výsledků obchodů,
• \(n\) je počet obchodů.

Čím vyšší t-statistika, tím menší pravděpodobnost, že pozorovaný průměr vznikl čistě náhodou. V praxi se často bere t-stat kolem 2 jako orientační hranice zajímavosti, ale není to magické číslo. U finančních dat jsou výnosy často šikmé, mají tlusté ocasy a obchody nemusí být nezávislé.

Příklad:

Strategie	Průměr/trade	Směr. odchylka	n	Přibližná t-stat
X	+0,8 %	5,0 %	25	0,80
Y	+0,8 %	5,0 %	400	3,20

Obě strategie mají stejnou průměrnou expectancy, ale strategie Y má mnohem silnější statistickou podporu díky většímu vzorku. Strategie X může být jen náhodně úspěšná série.

---

8. Overfitting: když strategie perfektně vysvětluje minulost

Overfitting nastává, když strategie příliš přesně sedí na historická data, ale ztrácí smysl mimo ně. Je to jako učení se testu nazpaměť místo pochopení látky.

Typické varovné signály:

• příliš mnoho parametrů,
• optimalizace přesných hodnot typu „nejlepší je 17denní průměr, ne 16 ani 18“,
• testování stovek variant a výběr jedné nejlepší,
• ignorování neúspěšných pokusů,
• výborný backtest, ale slabý out-of-sample výsledek,
• edge mizí po započtení nákladů.

Robustnější strategie mívají jednoduchou ekonomickou logiku. Například momentum může vycházet z behaviorálních zpoždění trhu; value faktor z přeceňování pesimismu; kvalita z odolnosti zisků. Samotná logika nestačí, ale pomáhá rozlišit skutečnou hypotézu od náhodné křivky v datech.

---

Jak na to v QMA

V QMA lze expectancy a edge sledovat popisně na několika místech platformy:

• /strategy

Stránka strategií zobrazuje u jednotlivých modelů metriky jako win rate (WR), průměrné zisky a ztráty, historickou výkonnost, alfa vůči benchmarku, počet pozorování n a t-statistiku. QMA rozlišuje strategie s robustnějším historickým ověřením jako ✅ ověřené a strategie s menším vzorkem, kratší historií nebo vyšší citlivostí parametrů jako ⚠️ experimentální. Označení slouží jako informace o kvalitě evidence, nikoli jako pokyn k obchodu.

• /journal

Obchodní deník umožňuje evidovat vlastní obchody, důvod vstupu a výstupu, velikost pozice a výsledek. Z těchto dat lze sledovat vlastní WR, průměrný zisk, průměrnou ztrátu a expectancy. Užitečné je zejména porovnání plánovaných pravidel se skutečným chováním investora.

• /screener

Screener pomáhá definovat testovatelné univerzum akcií — například podle země, sektoru, valuace, kvality, momenta nebo likvidity. To omezuje riziko, že strategie vznikne jen výběrem několika úspěšných tickerů zpětně.

• /stocks/[symbol]

Detail akcie, například /stocks/AAPL, /stocks/MSFT, /stocks/NVDA nebo /stocks/CEZ, ukazuje fundamentální, technické a rizikové charakteristiky konkrétního titulu. Tyto informace mohou sloužit jako kontext pro pravidla strategie, nikoli jako samostatný důkaz edge.

• /portfolio

Portfolio pohled ukazuje expozice, koncentraci, sektorové rozložení a historický drawdown. I strategie s kladnou expectancy může být problematická, pokud je příliš koncentrovaná nebo má ztrátové série větší, než investor psychologicky a finančně unese.

Smyslem QMA není říkat, co má investor udělat. Smyslem je ukázat, zda má pravidlo měřitelnou historii, jak silná je evidence a kde mohou být slabá místa.

---

9. Shrnutí: edge je kombinace matematiky a disciplíny

Zisková strategie nestojí na tom, že „má často pravdu“. Stojí na tom, že její zisky a ztráty mají dohromady kladnou očekávanou hodnotu po nákladech.

Klíčové body:

• Win rate bez průměrného zisku a ztráty nestačí.
• Expectancy = WR × průměrný zisk − LR × průměrná ztráta.
• Strategie s WR pod 50 % může být zisková, pokud jsou zisky výrazně větší než ztráty.
• Edge musí být měřen na dostatečném vzorku, ideálně přes různé tržní režimy.
• T-statistika pomáhá odlišit signál od šumu, ale není všemocná.
• Overfitting je jedno z největších rizik backtestování.
• Reálný výsledek závisí i na nákladech, skluzu, daních, velikosti pozic a disciplíně.

Expectancy je jako průměrný sklon silnice. Jednotlivý úsek může vést dolů, ale pokud dlouhá trasa statisticky stoupá, existuje pozitivní směr. Úkolem investora není hledat strategii, která nikdy neztrácí. Úkolem je rozumět tomu, zda ztráty odpovídají pravidlům a zda historická výhoda přežila poctivé měření.

Upozornění

QMA je analytický a vzdělávací nástroj, ne investiční poradenství. Minulá výkonnost není zárukou budoucích výsledků. Veškerá investiční rozhodnutí děláš na vlastní odpovědnost.